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[杂项|Miscellany] 『Futurama资料库』极客数1729

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发表于 2009-8-20 18:08:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-29 10:11 编辑

资料来源:http://theinfosphere.org/1729
转载请注明译者和本帖地址

数字1729,被称为“哈代-拉马努金数”(Hardy-Ramanujan number),这种叫法源自英国数学家哈代(G. H. Hardy,注释①)去医院探望印度数学家拉马努金(Srinivasa Ramanujan,注释②)时的一段名人轶事。哈代提到,

有次他在普特尼(Putney,伦敦西南部的一个地区)住院的时候,我去探望他。我乘坐了一辆车牌号为1729的出租车,我觉得这是一个很枯燥的数字(注释③),希望这不会是什么不祥之兆。但是他却不同意,说道,“这个数字很有趣,它是最小的、可以用两组不同的数字的立方和所表示的数”。


但更加严格的说法应该是,1729是最小的、可以用两组正整数的立方和所表示的数。因为若允许使用负整数,那么能用两组数字的立方和所表示的最小自然数就应该是91。
91 = 6^3+(−5)^3 = 4^3+3^3

当然,如果把“最小”等同于“最大的负数”而不是“最接近零”的数,那么像−91、−189、−1729以及其它类似的负数都比1729小。若使用“正数的立方”这个词,这个定义就不会显得模棱两可了。

像1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3
这样可以由n种不同的方法表示成两个正数立方和的数,被称为“的士数”(taxicab numbers)。1729是第二个的士数,而第一个的士数是2(2 = 1^3 + 1^3)。早在这件事发生之前,拉马努金就在他的笔记本里提到过这个数字。
【译注:有关的士数的问题请参看zimm的译文'Futurama' — 最极客的动画片


1729是第三个卡迈克尔数( Carmichael number,注释④),第一个欧拉伪质数( Euler pseudoprime,注释⑤)以及邹赛尔数(Zeisel number,注释⑥)。它是一个中心立方数(Centered cube number,注释⑦),也是十二角数 (Dodecagonal number)、二十四角数与八十四角数(24-gonal and 84-gonal number,注释⑧)。

通过研究代表相同数字乘积的二次型(注释⑨)不同的整数值数对,谢里曼(Schiemann)发现,这样的二次型(注释⑨)必须有四个以上的变量,而四个变量的数对最小的判别式是1729。

【译注:“二次型”、“整数值数对”……这几个词汇太专业了,应该是高等数论的内容吧,话说这就算是中文也让我不知所云呐o(>﹏<)o】

由于在十进制中,1729能被其数位的数字之和整除,因此它是一个哈沙德数(Harshad number,注释⑩)。它在八进制和十六进制中也有这个属性,但在二进制中没有。

1729还有另一个有趣的属性:超越数e(自然对数的底)小数点后第1729位正是
开始第一次连续出现所有的十个数字。但是,这本来有可能不会为任何数学家所知,因为在人们运用电脑运算法则来进行研究多年以后才注意到这一点
【译注:Orz,这都是什么强人总结出来的啊……数了之后我才明白,这所谓的“连续出现0-9”是什么意思,大家也有兴趣想数的话。。。附录中有小数点后两千位-_-#】

日本数学家藤原正彦(Masahiko Fujiwara )指出,1729是四个把组成它们的数字相加的和,乘以把和的个位与十位颠倒的数,仍等于这个数的自然数之一(另外三个数分别是1、81以及1458)。
1 + 7 + 2 + 9 = 19
19 · 91 = 1729

剧中出现1729与的士数的场景

*星际民主联盟的旗舰尼伯斯号(Nimbus,也译为尼姆巴斯号或幻云号)的舰体编号为BP-1729。



*在《圣诞节故事》("Xmas Story")这集中,班德收到了一张称他为“1729号儿子”(Son #1729)的贺卡。

      ★本剧的编剧Ken Keeler(他拥有应用数学的博士学位)表示,单看懂这一个笑话就值了六年的研究生教育。


*在《两恶相权取其轻》("The Lesser of Two Evils")这集中,有个更为晦涩的笑话。班德提到他的序列号是952^3与 (&#8722;951)^3的和2716057,而另一个机器人Flexo的序列号则是119^3与119^3的和3370318。这也是一条用来说明班德和Flexo是一对天使与魔鬼的双胞胎的证据。


*在《教授的悖论盒子》这集里面,有一个名为“1729号宇宙”的平行空间,在这个宇宙中,人人都长得跟大头娃娃玩具似的。


*在电影“Bender's Big Score”中,弗莱乘坐了一辆车牌号87539319的出租车,这个数也是两个正整数的立方和。在出租车上标有的士数也是很有趣的一件事。


注释:
①哈代                  (1L)
②拉马努金            
(2L)
③趣味数字的悖论     
(3L)
④卡迈克尔数         
(4L)
⑤欧拉伪质数         
(5L)
⑥邹赛尔数
             (6L)
⑦中心立方数         
(7L)
⑧多角数               
(8L)
⑨二次型               
(9L)
⑩哈沙德数            
(10L)




附录

超越数e小数点后面两千位

e=   2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139

自然对数-“自然律”之美

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓,在数学上它是函数:
(1+1/x)^x
当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题,如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时,都要研究
(1+1/x)^x
X 的X次方,当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限,从两个相反方向发展(当X趋向正无穷大的时,上式的极限等于e=2.71828……,当X趋向负无穷大时候,上式的结果也等于e=2.71828……)得来的共同形式,充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

现代宇宙学表明,宇宙起源于“大爆炸”,而且目前还在膨胀,这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律,即热力学第二定律相吻合。熵定律指出,物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向,逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡,即熵最大的状态,一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么?只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因,那么,可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织,或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条,历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点,它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同,它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统,它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态,就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西,乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程(如元素的衰变),另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展(如细胞繁殖)的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点,“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态,那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此,大漠使人感到肃穆、苍茫,令人沉思,让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷;而草原则使人兴奋、雀跃,让人感到生命的欢乐和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种:(1)对数螺线;(2)阿基米德螺线;(3)连锁螺线;(4)双曲螺线;(5)回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在,其它螺线也与对数螺线有一定的关系,不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的,后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它,发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线,极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线,等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止,竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到:旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心,都是美的形状。事实上,我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢?这难道不意味着我们的精神,我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗?

我们知道,作为生命现象的基础物质蛋白质,在生命物体内参与着生命过程的整个工作,它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷,是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的,决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器,当它的琴弦在风中振动时,能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是,人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗?还有我们的指纹、发旋等等,这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应,也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉,它具有尽可能多的变换群作用下的不变性,也即是拥有自然普通规律的表现,是“多”与“一”的统一,那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功?人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率,欣赏曲线的优美、变化与含蓄,殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一,是内在精神世界同外在物质世界的统一,那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的,社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律,是什么给予这种形式以生动形象的表达呢?螺线!

有人说美在于事物的节奏,“自然律”也具有这种节奏;有人说美是动态的平衡、变化中的永恒,那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒;有人说美在于事物的力动结构,那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一,是事物的形象显现,也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中,生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的,内在的和外在的,社会的和自然的,一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗?不!“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵,因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此,它才吸引并且值的人们进行不懈的探索,从而显示人类不断进化的本质力量。(原载《科学之春》杂志1984年第4期,原题为:《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》)


常用数学词汇的中英对照表
        数学 mathematics,maths
        公理 axiom
        定理 theorem
        计算 calculation
        运算 operation
        证明 prove
        假设 hypothesis, hypotheses(pl.)
        命题 proposition
        定理 theorem
        定义 defination
        算术 arithmetic
        数字 digit
        数 number
        自然数 natural number
        整数 integer
        小数 decimal
        小数点 decimal point
        分数 fraction
        分子 numerator
        分母 denominator
        加 plus(prep.), add(v.), addition(n.)
        被加数 augend, summand
        加数 addend
        和 sum
        减 minus(prep.), subtract(v.), subtraction(n.)
        被减数 minuend
        减数 subtrahend
        差 remainder, difference
        乘 times(prep.), multiply(v.), multiplication(n.)
        被乘数 multiplicand, faciend
        乘数 multiplicator
        积 product
        除 divided by(prep.), divide(v.), division(n.)
        被除数 dividend
        除数 divisor
        商 quotient
        等于 equals, is equal to
        大于  greater than
        小于  less than
        大于等于  equal or greater than
        小于等于  equal or less than
        运算符 operator
         比 ratio
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        十进制 decimal system
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        权 weight, significance
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        截尾 truncation
        四舍五入 round
        下舍入 round down
        上舍入 round up
        有效数字 significant figure
        代数 algebra
        公式 formula, formulae(pl.)
        单项式 monomial
        多项式 polynomial, multinomial
        系数 coefficient
        未知数 unknown
        等式,方程式 equation
        一次方程 linear equation
        二次方程 quadratic equation
        三次方程 cubic equation
        四次方程 quartic equation
        不等式 inequality
        阶乘 factorial
        对数 logarithm
        指数,幂 exponent
        乘方 power
        二次方,平方 square
        三次方,立方 cube
        四次方 the power of four, the fourth power
        n次方 the power of n, the nth power
        开方 evolution, extraction
        二次方根,平方根 square root
        三次方根,立方根 cube root
        四次方根 the root of four, the fourth root
        n次方根 the root of n, the nth root
        集合 set
        元素 element
        空集 empty set
        子集 subset
        交集 intersection
        并集 union
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        映射 mapping
        函数 function
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        角度 degree
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        锐角 acute angle
        直角 right angle
        钝角 obtuse angle
        平角 straight angle
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        底 base
        边 side
        高 height
        三角形 triangle
        锐角三角形 acute triangle
        直角三角形 right triangle
        直角边 leg
        斜边 hypotenuse
        勾股定理 Pythagorean theorem
        钝角三角形 obtuse triangle
        不等边三角形 scalene triangle
        等腰三角形 isosceles triangle
        等边三角形 equilateral triangle
        四边形 quadrilateral
        平行四边形 parallelogram
        矩形 rectangle
        长 length
        宽 width
        菱形 rhomb, rhombus, rhombi(pl.), diamond
        正方形 square
        梯形 trapezoid
        直角梯形 right trapezoid
        等腰梯形 isosceles trapezoid
        多边形 polygon
        正多边形 equilateral polygon
        圆 circle
        圆心 centre(BrE), center(AmE)
        半径 radius
        直径 diameter
        圆周率 pi
        弧 arc
        半圆 semicircle
        扇形 sector
        环 ring
        椭圆 ellipse
        圆周 circumference
        周长 perimeter
        面积 area
        轨迹 locus, loca(pl.)
        相似 similar
        全等 congruent
        四面体 tetrahedron
        五面体 pentahedron
        六面体 hexahedron
        平行六面体 parallelepiped
        立方体 cube
         多面体 polyhedron
        棱锥 pyramid
        棱柱 prism
        棱台 frustum of a prism
        旋转 rotation
        轴 axis
        圆锥 cone
        圆柱 cylinder
        圆台 frustum of a cone
        球 sphere
        半球 hemisphere
        底面 undersurface
        表面积 surface area
        体积 volume
        空间 space
        坐标系 coordinates
        坐标轴 x-axis, y-axis, z-axis
        横坐标 x-coordinate
        纵坐标 y-coordinate
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        三角 trigonometry
        正弦 sine
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        余切 cotangent
        正割 secant
        余割 cosecant
        反正弦 arc sine
        反余弦 arc cosine
        反正切 arc tangent
        反余切 arc cotangent
        反正割 arc secant
        反余割 arc cosecant
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        周期 period
        振幅 amplitude
        内心 incentre(BrE), incenter(AmE)
        外心 excentre(BrE), excenter(AmE)
        旁心 escentre(BrE), escenter(AmE)
        垂心 orthocentre(BrE), orthocenter(AmE)
        重心 barycentre(BrE), barycenter(AmE)
        内切圆 inscribed circle
        外切圆 circumcircle
        统计 statistics
        平均数 average
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:09:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-21 10:56 编辑

①哈代
资料来源:维基百科


G·H·哈代(英文:G. H. Hardy,1877年2月7日-1947年12月1日)全名戈弗雷·哈罗德·哈代(Godfrey Harold Hardy),英格兰数学家,在数论和数学分析的成果最为人所道。


数学贡献
G·H·哈代在数学分析与解析数论上有重要贡献。他与李特尔伍德合作发展了哈代-李特尔伍德圆法以处理华林问题,并在素数分布问题上多所斩获。
尽管哈代偏好纯粹数学,他却是群体遗传学中哈代-温伯格定律的发现者之一。


与其他数学家的关系
英国数学家李特尔伍德,哈代和他一起撰写了很多篇论文。
印度数学家拉马努金:哈代和他是很亲密的朋友。有一次保罗·艾狄胥跟哈代做访问,问及哈代认为自己对数学最大的贡献为何,他答是发现了拉马努金。


作品
《纯数学教程》,1908年
《数论导引》,与爱德华·梅特兰·赖特合写,1938年
《拉马努金》,1940年
《一个数学家的辩白》,1940年

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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:10:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-21 11:16 编辑

②拉马努金
资料来源:维基百科



拉马努金(泰米尔文:&#3000;&#3021;&#2992;&#3008;&#2984;&#3007;&#2997;&#3006;&#2970; &#2992;&#3006;&#2990;&#3006;&#2985;&#3009;&#2972;&#2985;&#3021;,拉丁字母转写:Srinivasa Aiyangar Ramanujan)(1887年12月22日-1920年4月26日),印度数学家。没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。1997年,《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊,用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。

童年和早年生活
拉马努金生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。在1898年十岁的时候,进入贡伯戈讷姆一所中学,在那里他似乎第一次接触到正规的数学。在11岁时,他已经掌握了住在他家的房客的数学知识,他们是政府大学的学生,到13岁,他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金,他还帮学校处理把1200个学生(各有不同需要)分配给35个教师的后勤事务,他甚至在一半的给定时间内完成测验,还已经显示出对无穷级数的熟练掌握;他那时的同校的人后来回忆说"我们,包括老师,很少可以理解他,"并对他"敬而远之"。但是,拉马努金在其他科目无法集中注意力,并在高中考试中不合格。在他生活的这个时段,他也相当穷困,经常到了挨饿的地步。


在印度的成年阶段
因为结了婚,他必须找到工作。带着他的数学计算能力,他在真奈(旧称马德拉斯)到处找抄写员的工作。最后他找到了一个工作,并在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员联系。

作为真奈总会计师事务所的职员,拉马努金奢望可以完全投入到数学中而不用作其他工作。他恳请有影响的印度人给予支持,并在印度数学期刊上发表了一些论文,但并未成功找到经济支持。到这个时候,慕克吉(Ashutosh Mukherjee)爵士试图支持他的事业。

在1913年拉马努金发了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术界人士贝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy),只有三一学院的院士哈代注意到了拉马努金定理中所展示的天才。

读着不知名和未经训练的印度数学家的突然来信,哈代和他的同事利特尔伍德(J.E. Littlewood)评论道,“没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。”虽然哈代是当时著名的数学家而且是拉马努金所写的其中几个领域中的专家,他还是说很多定理"完全打败了我;我从没见过任何象这样的东西。"

作为他的成果的一个例子,拉马努金给出了漂亮的连分数,




其中 是黄金分割。


在英国的生活
在起初的一些怀疑过后,哈代回信给了一些评论,要求其中一些发现的证明,并开始计划将拉马努金带到英国。作为正统的婆罗门,拉马努金咨询了他的旅行的星象,因为处于宗教的考虑到外国去他可能失去他的种姓。拉马努金的母亲做了个梦,其中家族女神告诉她不要阻拦她儿子的行程,所以他制定了行程,虽然他痛苦的尽力保持婆罗门的生活方式。

富有成果的合作开始了,哈代将之描述为"我一生中最浪漫的事件"。哈代评论拉马努金的公式,有些他起先不能理解,他说"只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的,因为如果不是的话,没人能有足够的想象力来发明他们。"哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金,并把拉马努金的天才比作至少和数学巨人欧拉和雅可比(Carl Jacobi)的相当。拉马努金后来成为三一学院的院士,并得到了科学界最高级别的荣誉,英国皇家学会会员(FRS)。


疾病和返回印度
健康问题困扰他一生,在远离家乡的国度,过度投入研究工作,拉马努金的健康在英国急剧恶化,可能压力让事情变得更糟,还有第一次世界大战时蔬菜的稀缺。他被诊断为肺结核(Henderson, 1996年),以及严重维生素不足,但1994年由杨格(Dr. D.A.B Young)进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论为更可能他有肝变形虫病,一种感染肝脏的寄生虫。拉马努金在真奈待了很长时间这一事实进一步证实这一点,那是这种疾病广泛传播的沿海城市。那在当时是很难诊断的疑症,但一旦诊断当时已可治愈(Berndt, 1998年)。他于1919年返回印度,之后不久便在贡伯戈讷姆去世,他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。他的妻子贾纳姬(S. Janaki Ammal)在以外生活,直至1994年逝世。结婚时贾纳姬才九岁,在当时的印度这是相当常见的(Henderson, 1996年)


精神生活
拉马努金终生过着婆罗门的生活。关于他实际信仰的观点有很多区别:他的第一个印度传记作者把他描述为一个严格正统的婆罗门,而哈代(坚定的无神论者)相信他在涉及到形而上学的方面基本上是一个不可知论者。

哈代报道了拉马努金的一个断言说所有宗教一样正确。卡尼盖尔(Robert Kanigel)的传记则称拉马努金可能不会给哈代看到他宗教的一面;另一方面来讲,卡尼盖尔通常描写哈代的负面形象。

拉马努金将他的理解归功于他的家族女神纳马吉里(毗湿奴的第四化身),并在他的工作中向她寻求灵感。他经常说:“一个方程对我没有意义,除非它代表了神的一个想法。”


数学成就
在数学上,有洞察力和有一个证明是很不相同的。拉马努金的天才给出了大量的公式,可以再深入研究,开启了新的研究方向。这些公式的例子有圆周率的一些引人入胜的无穷级数,其中一个是:




这和如下事实相关:


他提出对所有 θ

此处Γ(z)代表伽马函数。

比较恒等式两边θ之不同幂的系数,就可以得出双曲正割的许多恒等式。

哈代这样评论拉马努金:“        他的知识的缺陷和它的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念……        ”


定理和发现
这些包括拉马努金自己的发现,和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理
高度合成数的性质
整数分割函数和它的渐近线
拉马努金θ函数

他也在下列领域做出重大突破和发现:
伽马函数
模形式
发散级数
超几何级数
质数理论

他的发现异常丰富;也就是说,很多发现比它们出看起来要丰富得多。


拉马努金猜想和它的作用
虽然很多命题都可以称为拉马努金猜想,有一个特别适合这个称号,它在后续工作中非常有影响。拉马努金猜想是一个断言,这是关于τ-函数的系数大小的,而那是一个模形式理论中的典型尖形式(cusp form)。这在几十年后被证明为魏尔猜想的证明的一个结果;归约步骤是很复杂的。


拉马努金的笔记
当他还在印度时,拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。结果被写下来,但没有推导。这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。Berndt在他对这些笔记和拉马努金的工作的评论中,感到拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明,只是选择了不做证明。

这种工作风格可能有几个原因。因为纸在那时很贵,拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明,然后只将结果转移到纸上。在当时的印度,使用写字板对于数学的学生来讲很常见。他也可能受一本书的影响——他大部分的高等数学知识的来源卡尔(G. S. Carr)的《纯数学和应用数学概要》(Synopsis of Pure and Applied Mathematics),这是卡尔用来教授数学的。它总结了几千个结果,不带证明的给出了它们。最后,可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的;所以只记录了结果。(Berndt, 1998)

第一本笔记有351页,大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页,散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。他笔记本中的结果激发了大量论文,由后世企图证明他的发现的数学家所写。哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文,就像沃森(G. N. Watson)、威尔逊(B. M. Wilson)和伯恩特(Bruce Berndt)所作的一样。(Berndt, 1998)

评价
拉马努金是个如此伟大的数学家以至于他的名字超越了嫉妒,他是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑,在他死后70多年。他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。(引自卡尼盖尔所著传记《知无涯者:拉马努金传》第3页)

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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:11:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:35 编辑

③趣味数字的悖论
资料来源:http://en.wikipedia.org/wiki/Interesting_number_paradox
(待译)
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:11:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:39 编辑

④卡迈克尔数
资料来源:http://zh.wikipedia.org/zh-cn/伪素数

卡迈克尔数即伪质数或伪素数,是指满足素数的某种性质,但并非素数的数。最有名的伪素数是满足费马小定理的伪素数,即满足费马小定理,但其本身却不是素数。严格的定义是:n是一个伪素数,如果对于一个与其互素的自然数a,x 整除 a^(x-1) - 1,并称n是一个关于a的伪素数。最小的伪素数是341(=11×31,关于2)。如果n关于任何与其互素的数都是伪素数,则称n是绝对伪素数(或卡迈克尔数,来自找到第一个绝对伪素数的数学家罗伯特·丹尼·卡迈克尔)。最小的绝对伪素数是561。

有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。有一位数学家如此评论:“对于素数,费马小定理肯定是正确的;但他没说在合数中就不正确。”事实上,费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。


伪素数年表
1819年,萨鲁斯(Sarrus)发现第一个伪素数341
1903年,马洛(Malo)证明:若n为伪素数,则m = 2n - 1也是一个伪素数,从而肯定了伪素数的个数是无穷的。
1950年,发现第一个偶伪素数161038=2*73*1103。
1951年,皮格(Beeger)证明了存在无限多个偶伪素数。
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:12:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:41 编辑

⑤欧拉伪质数
资料来源:http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_pseudoprime

(待译)
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:13:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:44 编辑

⑥邹赛尔数
资料来源:http://en.wikipedia.org/wiki/Zeisel_number

(待译)
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:13:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:46 编辑

⑦中心立方数
资料来源:http://en.wikipedia.org/wiki/Centered_cube_number

(待译)
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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:13:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-29 09:50 编辑

⑧多角数

记得中学读过一本《趣味数论》谈到过多角数,回头找到了再录入。

终于翻出来了,哦也~

=============不怎么华丽的分割线=============


希腊数学家普罗克鲁斯说得好:
“那里有数,
那里就有美。”

古代的毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原。他们把正三角形、正方形、正五边形、……等图形与数联系起来,并把相应的数称为三角数、平方数、五角数、……

                                                         ——《趣味数论》单墫著 P27



【注释:有形数(可以排成有一定规律形状的数)是毕达哥拉斯学派的关注重点之一,他们认为数和形有不可分割的关系。有形数都是自然数,它们可以用小石子堆砌。有形数是将数形象化的方法。】




根据上图得知,

三角数分别为:1,3,6,10

四角数分别为:1,4,9,16

六角数分别为:1,6,5,28

……

公式中,S表示多边形的边数,n代表第n位多角数。



我们可以发现,1729

既是第19位十二角数(S=12,n=19时,带入公式:5n^2-4n),

也是第13位二十四角数(S=24,n=13时,带入公式:11n^2-10n),

还是
第7位八十四角数(S=84,n=7时,带入公式:41n^2-40n)

更多资料见:Polygonal number

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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:15:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-29 10:07 编辑

⑨二次型与判别式

二次型
资料来源:维基百科  |http://www.souezu.cn

英文名:quadratic form

二次型是线性代数主要内容之一,它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

在数学中,二次型是一些变量上的二次齐次多项式。术语二次形式也经常用来提及二次空间,它是有序对 (V,q),这里的 V 是在域 k 上的向量空间,而 q:V → k 是在 V 上的二次形式。例如,在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到,它们是这两个点的各自的三个坐标。


下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式:
F(x) = ax^2
F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy
F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz

注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子,因为它们不总是齐次的。

任何非零的 n 维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2) 维的二次曲面。在这种方式下可把 3 维二次形式可视化为圆锥曲线。


定义
设 V 是在交换环 R 上的模;R 经常是域比如实数,在这种情况下 V 是向量空间。

映射 Q : V → R 被称为在 V 上的二次形式,如果
Q(av) = a^2 Q(v) 对于所有  和 ,并且
B(u,v) = Q(u+v) &#8722; Q(u) &#8722; Q(v) 是在 V 上的双线性形式。

这里的 B 被称为相伴双线性形式;它是对称双线性形式。尽管这是非常一般性的定义,经常假定这个环 R 是一个域,它的特征不是 2。

V 的两个元素 u 和 v 被称为正交的,如果 B(u, v)=0。

双线性形式 B 的核由正交于 V 的所有元素组成,而二次形式 Q 的核由 B 的核中的有 Q(u)=0 的所有元素 u 组成。 如果 2 是可逆的,则 Q 和它的相伴双线性形式 B 有同样的核。

双线性形式 B 被称为非奇异的,如果它的核是 0;二次形式 Q 被称为非奇异的,如果它的核是 0。

非奇异二次形式 Q 的正交群是保持二次形式 Q 的 V 的自同构的群。

二次形式 Q 被称为迷向的,如果有 V 中的非零的 v 使得 Q(v) = 0。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果 Q(V) = 0 则 Q 被称为完全奇异的。


性质
二次形式的一些其他性质:
Q 服从平行四边形定律:
Q(u + v) + Q(u &#8722; v) = 2Q(u) + 2Q(v)
向量 u 和 v 是关于 B 正交的,当且仅当
Q(u + v) = Q(u) + Q(v)


对称双线性形式
主条目:对称双线性形式

在低层的域的特征不是 2 的时候,二次形式等价于对称双线性形式。

二次形式总是生成对称双线性形式(通过极化恒等式),而反过来要求除以 2。

注意对于任何向量 u ∈ V
2Q(u) = B(u,u)

所以如果 2 在 R 中是可逆的(在 R 是一个域的时候这同于有不是 2 的特征),则我们可以从对称双线性形式 B 恢复二次形式,通过
Q(u) = B(u,u)/2.

当 2 是可逆的时候,这给出在 V 上的二次形式和 V 上的双线性形式之间的一一映射。如果 B 是任何对称双线性形式,则 B(u,u) 总是二次形式。所以在 2 是可逆的时候,这可以用作二次形式的定义。但是如果 2 不是可逆的,对称双线性形式和二次形式是不同的: 某些二次形式不能写为形式 B(u,u)。

我们在二维情况下描述这种等价。任何 2 维二次形式可以被写为
F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy.

我们对在这个向量空间的任何向量写 x = (x,y)。二次形式 F 可以表达为矩阵,如果我们设 M 是 2×2 矩阵:


接着矩阵乘法给我们下列等式:
F(x)=x^T·M·x

这里的有上标的 x^T 指示转置矩阵。主要我们已经用了特征不是 2,因为我们除以 2 来定义 M。所以我们看到了在 2 维二次形式 F 和对应于对称双线性形式的 2×2 对称矩阵 M 之间的对应。

这个观察迅速推广到 n 个变量和 n×n 矩阵的形式中。例如,在实数值二次形式中,实数的特征是 0,所以实数二次形式和实数对称双线性形式是来自不同观点的同样的东西。


如果 V 是 n 维的,我们写双线性形式 B 为相对于 V 的某个基 {ei} 的对称矩阵 B。B 的分量给出自 Bij = B(ei,ej)。如果 2 是可逆的,二次形式 Q 给出自


这里 ui 是在这个基下的 u 的分量。


实二次形式
假定 Q 是定义在实数向量空间上的二次形式。
它被称为是正定的(或者负定的),如果 Q(v) > 0 (或者 Q(v) < 0) 对于所有向量 。
如果我们放松严格不等于为 ≥ 或 ≤,则形式 Q 被称为半定的。
如果 Q(v) < 0 对于某个 v 而且 Q(v) > 0 对于另一个 v,则 Q 被称为不定的。

设 A 是如上那样关联于 Q 的实数对称矩阵,所以对于任何列向量 v,
Q(v) = v^TAv.

成立。接着,Q 是正(半)定的,负(半)定的,不定的,当且仅当矩阵 A 有同样的性质(参见正定矩阵)。最终,这些性质可以用 A 的特征值来刻画。




判别式
资料来源:维基百科
在数学中,一个实系数或复系数多项式的判别式是一个与之相关的表达式。一个多项式的判别式等于零当且仅当多项式有重根。比如,一元二次多项式 ax^2 + bx + c 的判别式是 b^2 &#8722; 4ac。 一元三次多项式 ax^3 + bx^2 + cx + d 的判别式是 b^2c^2 &#8722; 4ac^3 &#8722; 4b^3d &#8722; 27a^2d^2 + 18abcd。


一元二次多项式的判别式 Δ与其函数图像之间的关系




当多项式的系数不是实数或复数域时,同样有判别式的概念。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为:


其中的an是多项式的最高次项系数,r1,...,rn是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构,比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

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 楼主| 发表于 2009-8-20 18:15:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 addicted2u 于 2009-8-20 19:34 编辑

⑩哈沙德数

哈沙德数(Harshad number)是可以在某个固定的进位制中,被其数位的数字之和整除的整数。

哈沙德数又称尼云数,是因为伊万·尼云在1997年一个有关数论的会议发表的论文。

若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数,称为全哈沙德数(全尼云数)。只有四个全哈沙德数:1, 2, 4, 6。

所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。

除非是个位数,否则素数不是哈沙德数。

在十进制中,100以内的哈沙德数(OEIS:A005349): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...


连续数个整数均为哈沙德数
1994年,H.G. Grundman 证明在十进制并无21个连续整数均是哈沙德数,他亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列,它们大于1044363342786。

1996年T. Cai 证明了以下的事实:在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数;在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。


密度
设N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目,对于任何给定的 ε > 0 ,Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现:


De Koninck、Doyon和Katai证明:


当 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

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发表于 2009-8-20 19:43:24 | 显示全部楼层
天书奇谈……
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发表于 2011-9-18 00:26:34 | 显示全部楼层
拉马努金...我以前看的是翻译成拉曼纽扬的
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发表于 2012-3-15 12:47:52 | 显示全部楼层
那BP是指什么呢?
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